微分中值定理是考研數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，考生們需要重點(diǎn)復(fù)習(xí)。考研數(shù)學(xué)中關(guān)于微分中值定理最常考的題型，就是利用微分中值定理來(lái)證明與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)出導(dǎo)數(shù)值，這種類(lèi)型的題大都以綜合題的形式出現(xiàn)的。下面唯學(xué)網(wǎng)小編為大家重點(diǎn)講解一下微分中值定理。

在考研數(shù)學(xué)當(dāng)中，這類(lèi)題型大多是用羅爾定理來(lái)證明的。關(guān)于羅爾定理，首先我們一定要掌握羅爾定理的內(nèi)容以及使用羅爾定理的條件。其實(shí)，羅爾這位數(shù)學(xué)家主要是研究方程根的問(wèn)題的，后人為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，就以他的名字來(lái)命名了這個(gè)他們總結(jié)出的定理。

據(jù)往年的真題分析，微分中值定理相關(guān)題型一般都是以考綜合題的形式出現(xiàn)，往往是一個(gè)題目有兩小問(wèn)的。其中，第一個(gè)問(wèn)題是第二個(gè)問(wèn)題的提示，且兩個(gè)問(wèn)題是單獨(dú)給分的。如果不會(huì)證明第一問(wèn)，可以直接利用第一問(wèn)的結(jié)論來(lái)證明第二問(wèn)。

對(duì)于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入學(xué)考試中的應(yīng)用也是我們也是必須掌握的。當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)中值時(shí)，要求我們證明存在不同的兩個(gè)點(diǎn)屬于一個(gè)開(kāi)區(qū)間，使得這兩個(gè)點(diǎn)出的一階導(dǎo)的乘積是個(gè)常數(shù)。

例如，05年考研數(shù)學(xué)一、二中出現(xiàn)過(guò)這樣一題：已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明：(1)存在，使得;存在不同的兩個(gè)點(diǎn) ，使得。

此題主要考察了拉格朗日中值定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。題目中第一問(wèn)主要用的是零點(diǎn)定理。對(duì)于這類(lèi)綜合題，有兩個(gè)小問(wèn)，其第二問(wèn)往往會(huì)用到第一問(wèn)的結(jié)論。這里我們主要談第二問(wèn)的證明方法。其有兩個(gè)不同的中值，要證明的是兩個(gè)中值處的導(dǎo)數(shù)的乘積等于一個(gè)常數(shù)，這時(shí)我們不能再用羅爾定理了。

由于要求兩個(gè)不同的中值，所以對(duì)于這類(lèi)題，我們首先要保證兩個(gè)不同中值，即劃分區(qū)間，然后分別用拉格朗日定理，或者有些題目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定理。對(duì)本題而言其是用兩次朗格朗日中值定理來(lái)做的。因此，對(duì)于出現(xiàn)兩個(gè)中值的問(wèn)題，我們往往考慮兩種情況：1，用兩次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗日中值定理一次柯西中值定理。

對(duì)于泰勒公式或者叫做泰勒定理的證明題，其往往是已知函數(shù)的范圍和二階導(dǎo)的范圍，讓我們來(lái)求一階導(dǎo)的范圍等等。所用的泰勒公式是帶有拉格朗日余項(xiàng)的。這類(lèi)題型一定要注意三點(diǎn)，1，我們泰勒公式展開(kāi)到幾階;2，到底在哪一點(diǎn)展開(kāi);3，取哪些點(diǎn)帶入公式，組成方程組來(lái)求所有解決的問(wèn)題。

以上是考研數(shù)學(xué)微分中值定理分析，以供各位考生備考使用。若想了解更多考研信息，可以關(guān)注唯學(xué)網(wǎng)考研欄目。在此考研欄目小編預(yù)祝各位考生調(diào)劑順利、復(fù)試順利、早日實(shí)現(xiàn)考研夢(mèng)。